Реферат проблема распутывания узла


Проблема распутывания узла. Узлы и косы



Скачать 184.19 Kb.
страница4/8
Дата05.11.2018
Размер184.19 Kb.
Название файлаРеф.Проблема распутывания узла.docx
ТипРеферат
1   2   3   4   5   6   7   8
3. Проблема распутывания узла. Узлы и косы

Прежде чем пытаться развязывать узлы, нужно придумать разумный способ их задания. Для этого используем понятие плоской диаграммы узла (которое уже есть на рис. 2, а–г). Пусть дан узел в трехмерном пространстве. Рассмотрим какую-нибудь плоскость и спроектируем его на эту плоскость. Можно выбрать плоскость таким образом, что на проекции будем иметь гладкую кривую с несколькими точками трансверсального самопересечения (то есть не касания кривых, а пересечения, при которой одна ветвь кривой проходит сквозь другую под углом), причем в каждой точке будут пере- секаться ровно две ветви этой кривой. При этом в каждой точке пересечения нужно сказать, какая ветвь проходит выше (то есть имеет большую координату z), а какая ниже (см. рис. 2, и). Легко видеть, что такой картинки (кривой на плоскости с двойными точками самопересечения и указанием в каждой точке, какая ветвь проходит выше (образует переход), а какая ниже (образует проход)) достаточно для того, чтобы задать узел (с точностью до изотопии) [4].



Рядом с теорией узлов находится теория зацеплений. Под зацеплением будем понимать несколько непересекающихся несамопересекающихся замкнутых веревок (кривых), вложенных в трехмерное пространство. При этом под изотопией зацеплений будем понимать непрерывную деформацию этих веревок в трехмерном пространстве, в процессе которой не происходит пере- сечений веревок (кривых) друг с другом и самопересечений [4]. Аналогично случаю узлов можно рассмотреть плоские диаграммы зацеплений, которые определяются точно так же, как и плоские диаграммы узлов, с той лишь разницей, что на плоскости находится не одна, а несколько погруженных кривых.

Косу представим так: в верхний и нижний край вертикальной плоскости вобьем по n гвоздиков (n=1,2,3…) – каждый из гвоздиков вертикального основания соединим нитью с одним из гвоздиков нижнего; нити попарно не пересекаются и всё время должны спускаться вниз. (рис.3) [4].



Рис. 3.


Получили косы: К1 — «девичья коса»; К2 - тривиальная коса; К4— крашеная коса; К5 — циклическая коса. (рис.4) [4].

Рис. 4.


Узел — это гладкая кривая в пространстве. Два узла считаются эквивалентными, если один можно гладко продеформировать в другой. Например, узел называется тривиальным, если его можно продеформировать в круглую окружность, иными словами — распутать. Основные проблемы теории узлов: проблема классификации или сравнения (два узла даны своими изображениями — эквивалентны ли они?) и проблема Гордиева узла или проблема распутывания (дано изображение узла — тривиален ли он?). Эти проблемы помогают решить инварианты и приведение (с помощью компьютерных анимаций) к так называемым. нормальным формам [4].

Узел - замкнутая кривая без самопересечения, узел можно описать двумерной диаграммой. Конечный набор замкнутых непересекающихся ориентированных ломаных в пространстве называется зацеплением. Два узла называются эквивалентными, если узел, сжимая, растягивая, двигая в пространстве (без разрывов и склеек), можно превратить в другой. Главной проблемой теории узлов является поиск инварианта, препятствующего распутыванию [1].



Теорема. Любой узел является замыканием некоторой косы. Возьмём косу, изогнём её дугой и склеим конец с началом, получится узел. Но замыкание разных кос не всегда приводит к разным узлам. Например, коса из трёх нитей не совпадает с косой из двух нитей, но при замыкании тоже даёт узел «трилистник»(рис.5) [6].

Рис. 5.


Нашей следующей задачей является попытка распознать по двум заданным плоским диаграммам узлов (зацеплений), задают они изотопные узлы (зацепления) или нет. Обычно для ответа на такие вопросы используют два метода [6]:

1. Если мы хотим доказать, что два зацепления изотопны, то нужно попытаться разбить процесс изотопии на маленькие элементарные шаги из заданного списка (простейшие изотопии).

2. Если же нужно показать неизотопность двух зацеплений, то можно попытаться найти функцию, которая принимает, одинаковые значения на изотопных узлах и разные на двух заданных.

Такая функция называется изотопическим инвариантом зацеплений. Изотопический инвариант называется полным, если для любых двух неизотопных зацеплений дает разные значения. Это значит, что такой инвариант решает обе задачи, то есть всегда точно может сказать, изотопны данные два узла (зацепления) или нет. Нахождение полного инварианта – чрезвычайная трудная задача. До сих пор ни об одном найденном инварианте зацеплений не доказано, что он является полным [6].




Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8


База данных защищена авторским правом ©rppna.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница