Нормальных уравнений



Скачать 104.91 Kb.
Дата10.04.2018
Размер104.91 Kb.
Название файла111.doc

Система нормальных уравнений.
a*n + b*∑x = ∑y
a*∑x + b*∑x2 = ∑y*x
Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)

x

y

x2

y2

x • y

1.15

0.62

1.3225

0.3844

0.713

5.24

2.23

27.4576

4.9729

11.6852

2.36

1.22

5.5696

1.4884

2.8792

2.45

3.67

6.0025

13.4689

8.9915

11.2

7.74

40.3522

20.3146

24.2689


Для наших данных система уравнений имеет вид
4a + 11.2*b = 7.74
11.2*a + 40.352*b = 24.269
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.2888, a = 1.1264
Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):
y = 0.2888 x + 1.1264
Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.



Выборочные дисперсии:


Среднеквадратическое отклонение


Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:


Коэффициент корреляции.
Ковариация.

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0.1 < rxy < 0.3: слабая;
0.3 < rxy < 0.5: умеренная;
0.5 < rxy < 0.7: заметная;
0.7 < rxy < 0.9: высокая;
0.9 < rxy < 1: весьма высокая;
В нашем примере связь между признаком Y и фактором X умеренная и прямая.
Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b:

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 0.289 x + 1.126
Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл.
Коэффициент регрессии b = 0.289 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 0.289.
Коэффициент эластичности.
Коэффициент эластичности находится по формуле:


Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами - влияние Х на Y не существенно.
Бета – коэффициент

Т.е. увеличение x на величину среднеквадратического отклонения Sx приведет к увеличению среднего значения Y на 37.5% среднеквадратичного отклонения Sy.
Эмпирическое корреляционное отношение.


где

Индекс корреляции.
Для линейной регрессии индекс корреляции равен коэффициенту корреляции rxy = 0.375.
Полученная величина свидетельствует о том, что фактор x умеренно влияет на y
Для любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции:

Данный коэффициент является универсальным, так как отражает тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи переменных. При построении однофакторной корреляционной модели коэффициент множественной корреляции равен коэффициенту парной корреляции rxy.
В отличие от линейного коэффициента корреляции он характеризует тесноту нелинейной связи и не характеризует ее направление. Изменяется в пределах [0;1].
Теоретическое корреляционное отношение для линейной связи равно коэффициенту корреляции rxy.
Коэффициент детерминации.
R2= 0.3752 = 0.1405
т.е. в 14.05% случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - низкая. Остальные 85.95% изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации).
Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 2)

x

y

y(x)

(yi-ycp)2

(y-y(x))2

1.15

0.62

1.458

1.729

0.703

5.24

2.23

2.64

0.087

0.168

2.36

1.22

1.808

0.511

0.346

2.45

3.67

1.834

3.01

3.371

11.2

7.74

7.74

5.338

4.588


Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.
Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:


S2 = 2.294 - необъясненная дисперсия или дисперсия ошибки регрессии (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

S = 1.51 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).
Sa - стандартное отклонение случайной величины a.


Sb - стандартное отклонение случайной величины b.


Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.
tкрит (n-m-1;α/2) = (2;0.025) = 4.303


Поскольку 0.57 < 4.303, то статистическая значимость коэффициента регрессии b не подтверждается (принимаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента). Это означает, что в данном случае коэффициентом b можно пренебречь.


Поскольку 0.7 < 4.303, то статистическая значимость коэффициента регрессии a не подтверждается (принимаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента). Это означает, что в данном случае коэффициентом a можно пренебречь.
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:
(b - tкрит Sb; b + tкрит Sb)
(0.29 - 4.303*0.505; 0.29 + 4.303*0.505)
(-1.885;2.462)
С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.
Так как точка 0 (ноль) лежит внутри доверительного интервала, то интервальная оценка коэффициента b статистически незначима.
(a - tкрит Sa; a + tкрит Sa)
(1.126 - 4.303*1.604; 1.126 + 4.303*1.604)
(-5.776;8.029)
С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.
Так как точка 0 (ноль) лежит внутри доверительного интервала, то интервальная оценка коэффициента a статистически незначима.
2) F-статистика. Критерий Фишера.



или по формуле:

где

Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=2, Fтабл = 18.5
Поскольку фактическое значение F < Fтабл, то коэффициент детерминации статистически не значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна).
Показатели качества уравнения регрессии.

Показатель

Значение

Коэффициент детерминации

0.1405

Средний коэффициент эластичности

0.418


Выводы.
Изучена зависимость Y от X. На этапе спецификации была выбрана парная линейная регрессия. Оценены её параметры методом наименьших квадратов. Статистическая значимость уравнения проверена с помощью коэффициента детерминации и критерия Фишера. Установлено, что в исследуемой ситуации 14.05% общей вариабельности Y объясняется изменением X. Установлено также, что параметры модели статистически не значимы. Возможна экономическая интерпретация параметров модели - увеличение X на 1 ед.изм. приводит к увеличению Y в среднем на 0.289 ед.изм.

Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©rppna.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница